Die Konstruktion der Algebra |
R |
Mit R bezeichnen wir den Körper der reellen Zahlen
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Q |
Mit Q bezeichnen wir den Körper der rationalen Zahlen
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E |
Mit E geben wir eine Erweiterung von Q vom Grad 3 an
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A |
Mittels E wird eine Algebra A vom Grad 9
über Q so konstruiert, dass A keine
Nullteiler besitzt, was gleichbedeutend damit ist, dass A eine
Divisionsalgebra ist.
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Zur Konstruktion von E definieren wir
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u := 2 cos (2 π / 7) ∈ R
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v := 2 cos (4 π / 7) ∈ R es folgt v = u² - 2
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w := 2 cos (6 π / 7) ∈ R es folgt w = -u² - u + 1
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E := Q (u) ist ein Körper,
der wegen u³ = -u² + 2u + 1
die Dimension 3 über Q hat.
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Ebenso wie die Elemente 1, u, u² bilden auch u, v, w eine Basis von
E über Q.
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Wir können jedes a ∈ E folgendermassen darstellen:
a = α + βu + γu² mit
α, β, γ ∈ Q.
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Für die Konstruktion von
A benötigen wir des weiteren ein Symbol
j, das in
E nicht vorkommt
und die
Q-lineare Abbildung
σ von
E auf
E:
σ : α + β
u + γ
u
²
—>
α + β
σ(u) + γ
σ(u)
²
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Zur Konstruktion von
A nehmen wir ein
γ aus
Q*\N(E*) und definieren:
A
:= α + β
u + δ
u
² + ε
j + ζ
uj + η
u
²
j + κ
j
² + λ
uj
² + μ
u
²
j
² mit
α,β,δ,ε,ζ,η,κ,λ,μ
∈
Q.
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Addition, Multiplikation sowie die Inversenbildung sind in meiner Doktorarbeit aus dem Jahr 1992 dargestellt.
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Aus der Multiplikation ergibt sich:
j³ = γ
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A ist ein Ring mit
E C
A. In
A gelten die Distributiv- und Assoziativgesetze aber
A ist
nicht kommutativ.
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